La constante PI: ¿Cuántos decimales conocemos y cuántos necesitamos?

Todos los años en el mes de Marzo, el día 14 un grupo cada vez numeroso de personas alrededor del mundo celebra el día de PI. La fecha, escrita con el formato norteamericano (3/14) corresponde a la aproximación de 2 digitos decimales de la constante.

¿Qué se hace en esa fecha? Se hacen charlas y eventos que hablen de la importancia de la constante. Se comen pasteles (en ingles "PIE" que foneticamente se parece) redondos o se los arroja (gag de comedia física de larga data). Este festejo tiene un nacimiento conocido. Fue en manos del físico Larry Shaw del San Fransico Exploratorium en 1988. Con los años incluso la cámara baja del Congreso de Estados Unidos expreso su importancia y compañias como Google la promocionaron mediante sus conocidos "doodles".

Es innegable la importancia de la constante PI dentro del campo tecnológico y científico. La relación entre la circunsferencia de un círculo y su diámetro - tal su definición formal - es solo uno de los infinitos números irracionales. Pero es del que más se conocen sus dígitos luego de la coma.


La fascinación por los decimales de PI tiene milenios. En el artículo "La historia del número PI y sus infinitos dígitos" hable sobre su historia. Es cierto que comenzó como necesidad constructiva. Luego mutó en un intento de definir con exactidud. Pero con la demostración de que es un número irracional cualquier esfuerzo de terminar la tarea es inútil.

Eso no parece frenar a nadie. ¿Es qué finalmente se ha convertido en un fetiche? Hoy día existen clubes y asociaciones alrededor del número PI. Gente que intenta memorizar la mayor cantidad decimales posibles. Para muestra, la página "Pi World Ranking List", donde presentan reglas a seguir para entrar en sus registros. Se puede ver en su listado - filtrando por pais y continente - que hay personas que superan ampliamente los 10.000 digitos. Los primeros puestos se los reparten individios de India, China y Japón. El record mundial actualmente lo consiguió Suresh Kumar Sharma de la India el 21 de Octubre de 2015. Le llevó 17 horas y 14 minutos recitar 70.030 dígitos!

Para memorizar esos valores es necesario, obviamente, calcularlos previamente. En 1874 mediante un cálculo manual, William Shanks, llegó a calcular correctamente 527 dígitos. Fue un proceso tedioso en un lapso de 15 años. Incluso un error truncó su resultado inicial de 707 decimales. Para fortuna de posteriores entusiastas la aparición de calculadoras de escritorio ayudaron en los cálculos. En 1949, L. B. Smith y John Wrench lograron obtener los primeros 1.120 dígitos. Pero la verdadera explosión en el cálculo comenzo con la aparición de las primeras computadoras.

Fotografia con parte de la computadora ENIAC

El primer cálculo de PI realizado con una computadora que se conoce fue realizado en el año 1949. Fue utilizando la ENIAC. En un lapso de 70 horas lograron calcular 2000 decimales. El resultado fue publicado un año despues en "An ENIAC Determination of π and e to more than 2000 Decimal Places". En el paper se nombra como impulsor de la tarea al reconocido profesor Jhon Von Neumann.

ENIAC Fue construida por los ingenieros John Presper Eckert y John William Mauchly. Quienes estaban a cargo de su programación eran seis mujeres. Utilizaba 17.468 tubos de vacío, 7.200 diodos de cristal, 1.500 relés, 70.000 resistencias, 10.000 condensadores. Pesaba 27 toneladas. Podía resolver 5.000 sumas o 300 multiplicaciones en 1 segundo. Era bastante frágil y propenso a las fallas. En una entrevista de 1989, Eckart afirmó

"Nos fallaba una válvula aproximadamente cada dos días y conseguíamos averiguar el problema en menos de 15 minutos".

Para el cálculo de pi utilizaron la formula desarrollada por John Machin (1686-1751): PI/4 = 4 arctan 1/5 – arctan 1/239. y la serie de Gregory:

No es el mecanismo más eficiente para obtener rápidamente cifras de pi. Pero aún asi fue un hito. Pronto otras personas en otras computadoras estaban haciendo sus propios cálculos

En los siguientes años, mejoras en la tecnología de computadoras permitieron aumentar los decimales de PI. Principalmente utilizando computadoras IBM o CDC se fueron sucediendo records en los decimales. Para 1973 la barrera del millón fue quebrada. Jean Guilloud and Martin Bouyer utilizando una CDC 7600 en tan solo 23,3 horas calcularon 1.001.250 decimales.

Yasumasa Kanada

La década del 80 y del 90 fue un torbellino de nuevos records quebrados. La mayoría de ellos de la mano de Yasumasa Kanada. Matemático Japones fue profesor de la universidad de Tokio hasta su retiro en 2015. En la mayoría de los records se apoyo en supercomputadores Hitachi. En su página web (ahora incompleta) subió detalle de los records y sus cálculos. Utilizó una aproximación utilizando una serie para el cálculo usando el arcotangente descubierto por Takano en 1982. Como lenguaje de programación utilizó FORTRAN y C. Dese su primer record en 1982 de 2.000.036 dígitos hasta su último el 24 Noviembre 2002 de 1.241.100.000.000 pocas veces perdió su supremacía en manos de competencia.

Fue en estados unidos donde una pareja de Hermanos quebró la hegemonía de Kanada por un breve lapso de tiempo. Gregory y David Chudnovsky eran ambos matemáticos trabajando en el Instituto de Matemáticas y Supercomputación Avanzada de la Universidad de Nueva York cuando crearon el algoritmo que lleva su nombre para el cálculo de PI.

Gregory y David Chudnovsky

Al momento de probar su algoritmo se encontraron con un problema que a muchos hubiese desalentado. La potencia computacional que necesitaban no estaba fácilmente disponible. Existían pocas supercomputadoras en Estados Unidos, los tiempos de uso eran acotados y los procesos para conseguirlo eran complejos. Debían "suplicar" por acceso, ser pacientes y muchas veces "muchos se ponían hostiles". Segun sus propias palabras:

“Los centros de computación eran instalaciones masivas, con mucha refrigeración, a las que resultaba difícil acceder”

Su solución fue construir su propio supercomputador. Buscaron formas de financimiento, comenzaron a diseñar, comprar y ensamblar sus propios componentes. Incluso llegaron a diseñar sus propios chips y solicitar a Toshiba en Japón que se los fabricara. Luego de varios intentos donde parte de sus componentes se freía por el calor, lograron construir una computadora en una habitación de la casa de Gregory. La computadora, que estaba refrigerada por ventiladores, fue bautizada como "M-zero" (cero por la cantidad de éxitos que habían tenido hasta el momento).

Antes de M-zero habían aprovechado para probar su algoritmo en supercomputadoras CRAY-2 y IBM 3090. Habían logrado records mundiales en mayo y junio de 1989. A cada marca, eran superados apenas un mes despues por Kanada y su equipo. Con M-zero lograron llegar a calcular 4.044.000.000 digitos. Este record conseguido el 18 de mayo de 1994 lo mantuvieron por un poco más de un año (nuevamente superado por Kanada). 

Lo realmente excepcional logrado por los hermanos fue el modelo matemático para calcular pi. Según palabras de David:

"Su ordenador era miles de veces mayor que el nuestro y costó cientos de veces más, los japoneses eran líderes en ‘hardware’"

 El algoritmo Chudnovsky sigue siendo actualmente utilizado para los últimos records mundiales.
 Matemáticamente el calculo es el siguiente:

A partir de 2009 se dió un cambio en los criterios de homologación de los records. Se debía utilizar únicamente hardware de venta pública (Es decir que cualquiera pueda adquirir). En este periodo - hasta la actualidad - la estrella es un software de uso libre conocido como y-cruncher, 

Creado por Alexander J. Yee como un proyecto personal mientras estaba cursando el secundario, y-cruncher se autodefine como "The first scalable multi-threaded Pi-benchmark for multi-core systems". Permite calcular PI y otras constantes utilizando diversas formulas. También permite verificar el resultado obtenido. Este software fue responsable de los records mundiales desde el 2010 hasta la fecha. El actual record corresponde a Emma Haruka Iwao conseguido el 14 de Marzo 2019. Pudo calcular en 121 días la impresionante cantidad de 31.415.926.535.897 dígitos de pi. Emma es empleada de Google y tuvo su patrocinio en la tarea (Utilizando su hardware).

Pueden existir próximos records? Claro que si. El hardware continua mejorando y se siguen descubriendo algunos algoritmos que van mejorando el cálculo de operaciones matemáticas de gran cantidad de bits y refinando las series infinitas. ¿Tiene alguna utilidad práctica conocer más bits?

Una respuesta a esta pregunta provino de la NASA. Quien responde es Marc Rayman, director y ingeniero en jefe de la misión Dawn.  El 16 de marzo de 2016 escribió sobre el uso de PI por el Jet Populsion Laboratory.

La cuestión puede ser shockeante luego de descubrir tantos records. Actualmente para todos sus cálculos utilizan únicamente 15 decimales de PI (3.141592653589793)! ¿Por qué no más? En sus propias palabras:

"The most distant spacecraft from Earth is Voyager 1. It is about 12.5 billion miles away. Let's say we have a circle with a radius of exactly that size (or 25 billion miles in diameter) and we want to calculate the circumference, which is pi times the radius times 2. Using pi rounded to the 15th decimal, as I gave above, that comes out to a little more than 78 billion miles. [...] It turns out that our calculated circumference of the 25 billion mile diameter circle would be wrong by 1.5 inches. Think about that. We have a circle more than 78 billion miles around, and our calculation of that distance would be off by perhaps less than the length of your little finger"

 Es decir que utilizando 15 decimales, para sus cálculos solo cometen un error de 3.81 centímetros (1,5 pulgadas) en 78 billones de millas!

Si necesitan en algun momento ser más exactos. Necesitarían solo un máximo de 40 decimales y lo ejemplifica con el tamaño del universo visible:

"The radius of the universe is about 46 billion light years. Now let me ask a different question: How many digits of pi would we need to calculate the circumference of a circle with a radius of 46 billion light years to an accuracy equal to the diameter of a hydrogen atom (the simplest atom)? The answer is that you would need 39 or 40 decimal places."

¿Significa esto que el único motivo de seguir calculando decimales es... "porque podemos"? Si y no: Este tipo de procesos pesados y exigentes se utilizan en la industria del hardware para probar la eficiencia de los nuevos productos. Por otro lado, para la industria del software y en los círculos matemáticos es un campo para mejorar el conocimiento y realizar algoritmos más poderosos.

Posiblemente en no mucho tiempo escuchemos nuevos records en el cálculo de constantes matemáticas como PI.

Lecturas adicionales sugeridas:

• The Eniac and P, por Brian Shelburne
• The Mountains of Pi, por Richard Preston