Toda tu vida multiplicaste en forma ineficiente: El algoritmo de Karatsuba

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La historia del número PI y sus infinitos dígitos

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Existen infinitos números irracionales. Estos son aquellos que no podemos representar como cociente entre 2 números enteros. Si los queremos expresar como un numero decimal, no podremos dado que tienen infinitas cifras luego de la coma sin un patrón periódico en ellos.

Existe no obstante un puñado de ellos que por su utilidad en diversos campos de la ciencia o por cuestiones históricas han salido del anonimato, incluso recibiendo nombre propio. Entre ellos podemos nombrar al número áureo, el número de Euler y por supuesto el número PI.

El numero PI - también conocido como "constante de Arquímedes" es un concepto conocido hace miles de años. Representa la relación entre la circunferencia de un circulo y su diámetro. Cualquier empresa constructiva se toparía con él en algún momento. No solo en geometría se utiliza, también para cualquier movimiento periódico o pendular, en señales electrónicas, órbitas de satélites, modelos financieros... entre otros.




Se han encontrado referencias al número pi en civilizaciones antiguas. Los babilonios cuyo sistema de numeración era el sistema sexagesimal (Es decir base 60) utilizaron corrientemente el valor pi aproximado a 3. En la imagen siguiente se observa una tablilla de barro cocido circular (conocida como YBC 7302) con caracteres cuneiformes.
En ella se ven 3 números alrededor de un círculo: el 3, 9 y el 45. Se a intepretado que el numero 3 corresponde a la longitud del circulo (l). Por otro lado el 45/60 (0;45 en base sexagecimal) corresponde al área del mismo. Finalmente el 9 es la circunferencia al cuadrado (3*3). La relación entre el área y la longitud de un círculo viene dada por 𝐴=l*l/4𝜋 y de allí se puede calcular pi como 3.

Tabletas encontradas en Susa (una de las ciudades más antiguas de la mesopotamia y del mundo) y recogidos en la publicación "Textes mathématiques de Suse" sugieren una aproximación de 25/8 (3,125). Tal vez no tan utilizada, pero ya disponible.

Papiro matemático Rhind
Los egipcios, por otro lado también se enfrentaron a la necesidad de calcular áreas de círculos. Lamentablemente no hay muchos registros sobre sus conocimientos matemáticos. Escribían en papiros, que dentro de sus ciudades cercanas al Nilo no sobrevivieron el paso de los años. Pero, para nuestra suerte, algunos escritos llegaron a nuestros días. Entre ellos el conocido como el "papiro matemático Rhind". Comprado en 1858 en Luxor por el anticuario Alexander Henry Rhind, fue datado alrededor del 1550 antes de la era común. Este papiro, que nos llego en forma fragmentaria, es copia según se indica de otro preexistente. Contiene un conjunto de problemas prácticos matemáticos y su mecanismos de resolución.

El problema 41 del papiro se enfrenta a la necesidad de calcular el volumen de un granero cilíndrico. El volumen de un cilindro se puede calcular como área del circulo y luego multiplicarlo por la altura: (𝜋*r^2 )* h. En el papiro se presenta la formula (con el diámetro d y la altura h) V= [1 - d/9]^2 * h. Si depejamos y simplificamos podes llegar a que el valor pi queda aproximado a 256/81 (3,1605...)

De relevancia para el mundo judeo-cristiano, existe evidencia en el antiguo testamento del concepto de PI. Existen 2 versículos en diferentes partes que tratan sobre el mismo tema: la construcción del mobiliario interior del templo de Jerusalén:

2 Crónicas 4 Reina-Valera 1960 (RVR1960):

2. También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor.

1 Reyes 7 Reina-Valera 1960 (RVR1960):

23. Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos. 
En ambos se indica que el círculo tenía un diámetro de 30 codos y un diámetro de 10 codos. Por lo tanto pi se puede calcular como 30/10 = 3. Es un valor habitual para la época. Pero que con el paso de los años se volvió controversial. ¿Cómo podía la biblia, palabra de Dios ser inexacta? Numerosas explicaciones se tejieron. Algunas más complejas que otros (Por ejemplo acá y acá algunas justificaciones). Sin embargo a Maimonides no parece preocuparle el tema. En sus comentarios de la mishna (Eruvin 1.5), no duda en afirmar que el valor real de pi no lo sabemos, pero si podemos aproximarlo:

“You need to know that the ratio of the circle’s diameter toits circumference is not known and it is never possible to express it precisely.This is not due to lack in our knowledge. . . , but it is in its nature that it isunknown. . . but it is known approximately. . . ”

Arquímedes de Siracusa fue un matemático, ingeniero, astrónomo, inventor de origen griego. Vivió entre el 287 y el 212 antes de la era común. Tuvo un papel preponderante en a historia de pi. Tanto es así que algunos nombran a pi con su nombre. En su obra "Sobre la medida de la Tierra" introduce el primer algoritmo riguroso para su calculo.

La idea de Arquímedes consiste en construir dos polígonos regulares. Uno que contenga al circulo y otro siendo contenido por el mismo. La  medida del perímetro de cada uno de ellos generaba una cota superior y una inferior del perímetro del circulo. Por lo tanto, teniendo en cuenta el radio del círculo era posible calcular el valor de pi. Para mejorar la aproximación se debía aumentar la cantidad de lados de los polígonos. Con este método y utilizando polígonos de 96 lados llego a acotar el valor de pi entre 223/71 (3,1408) y 22/7 (3,1428)

En los siguientes siglos, utilizando el mismo método fueron mejorándose la cantidad de decimales conocidos. Un hito importante fue el algoritmo propuesto por matemático chino Liu Hui en el siglo 3. En "The Nine Chapters on the Mathematical Art" presenta un proceso iterativo que permite calcular con la precisión deseada Pi utilizando polígonos bisectantes. El polígono era un n-agono que se descomponía en n triángulos cuya área se podía calcular fácilmente. Al aumentar n se aumentaba la precisión. Llega a un valor entre 3.1410 y 3.1427 (acá más detalles)

serie de productos encontrada por Viéte
En el siglo 16 se produjo un cambio vital. Todos los métodos anteriores eran geométricos. El descubrimiento de técnicas de series infinitas permitió abstraer del calculo cuestiones geométricas y lograr precisiones nunca antes vistas. La primera série descubierta en Europa fue en manos del matemático François Viète en 1593. Años siguientes fueron apareciendo otras que convergían más rápido entre ellas las propuestas por  John Wallis (1655), Newton (1665) y Leibniz (1674). Para ese entonces ya se conocían 100 dígitos de PI.

En 1761 se produjo una demostración matemática a manos del científico suizo Johann Heinrich Lambert que determinó que π es irracional. Por más que siguieran calculando dígitos el valor exacto nunca se conseguiría. Eso no pareció cohibir a nadie. Más de un siglo después - en 1873 - el calculo por el matemático amateur británico llevó a la cantidad de dígitos conocidos a 527. Le ocupó 15 años. Un error de cálculo redujo a esa cantidad su valor inicial de 707 dígitos. Error que fue encontrado recién en 1944.


A esta altura de la historia la constante tenía milenios de camino. Pero recién fue bautizada como Pi (la letra griega PI) por el matemático William Oughtred y popularizado así en el libro "Introducción al calculo infinitesimal" de 1748 escrito por Leonhard Euler. Le letra corresponde a la primera letra de la palabra en griego "periferia" y "perímetro".

Srinivasa Ramanujan
En 1910 el matemático indú Srinivasa Ramanujan encontró series que convergían a una velocidad de hasta 8 dígitos en cada iteración. Variantes de las mismas se siguen utilizando en los cálculos al día de hoy.

Curiosamente solo unos años antes, en 1897, estuvimos a pasos de resolver para siempre la carrera de los dígitos de PI. Este acontecimiento tuvo lugar en Indiana, Estados Unidos. Un médico llamado Edward Johnston Goodwin clamó haber demostrado que PI valía 3,2. Este valor, nos retrocede milenios tachando avances significativos. Debió ser simplemente desechado. Pero Goodwin era una persona aparentemente bastante persuasiva. Se unió a otros y presentó un proyecto de ley (número 246) en la asamblea. Había patentado su método y prometía cobrar regalías en todo el mundo, excepto en la misma Indiana donde su uso sería gratis. Los políticos, que evidentemente de matemática no entendían nada, aprobaron rápidamente la ley. Por suerte el sistema legislativo era bicameral. Quedaba un paso más antes de borrar de un plumazo todos los cálculos realizados hasta ese punto de la historia.

La historia tiene un final feliz. Casualmente el matemático Clarence Abiathar Waldo se presentó para pedir más fondos para su universidad durante uno de los debates legislativos. Tuvo que escuchar horrorizado como en la defensa de esta proyecto se daba como ventaja la posibilidad de cobrar derechos de autor. La validez matemática no parecía ser un tema a verificar. Por suerte pudo convencer a los políticos de desistir y evitar un papelón aún mayor.

Hoy seguimos calculando más y más cifras de pi. Utilizamos procesos automatizados apoyándonos en computadoras. No hay límite, las mejoras tecnológicas cada vez nos brindan más poder de cálculo. A mayor precisión de PI más certeros los cálculos que lo utilizan. La pregunta que queda flotando es: existe un límite en el que ya más dígitos de pi no nos sirvan para los cálculos científicos más precisos? Pero, eso lo responderemos en otro momento.

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